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Math Formula

量子力学假设

参考资料 量子化学教程 黄明宝 p65
假设1 体系的状态用坐标和时间的函数Ψ来描述。这个函数称为状态函数或波函数,它包含关于体系的可确定的全部知识。
波函数应是单值的、连续的和平方可积的品优函数。这些数学要求是关于坐标变量的。关于波函数随时间的变化见“假设6”及有关论述。假设中的最后一句话的含义是:可以由波函数来计算体系的各种性质(见假设5)。由于波函数描述的是体系的状态(如基态和激发态),严格来说应是:可以计算波函数所描述的体系的那个状态的各种性质。如果涉及微观粒子的自旋,波函数还要包含自旋坐标。

假设2 每个物理量对应一个线性厄米算子。这个算子是这样构造的:用笛卡尔坐标和对应的(线)动量的分量写出物理量的经典力学表达式,然后把每个坐标x代以算子x,而每个动量分量px代以算子“ix”。
对算子厄米的要求来源于“物理量的测量平均值应是实数”的要求;对算子的线性要求与“态的叠加”相关联。量子力学的算子之间存在着“可对易”或“不可对易的关系”。

假设3 从物理量A的测量可得到的仅有可能值是下列本征方程中的本征值ai:
$ A \varphi {i}=a{i}\varphi _{i}$
式中算子A对应于物理量A。如果体系的状态函数Ψ=varphii,则测量有确定值——本征值ai;如果Ψ不是算子A的本征函数,则测量没有确定值(不能确定得到哪个本征值)。

$$

01 算子
1.1 括号标记法
一个波函数取复共轭再与另一个波函数相乘后的积分,可使用一种括号标记
ψ1|ψ2=ψ1ψ2dτ
括号运算规则
ψ|ψ0
ψ2|ψ1=ψ1|ψ2
a|b+c=a|b+a|c
a+b|c=a|c+b|c

a|λb=λa|b
λa|b=λa|b

算子是一种规则,它把给出的某个函数变成另外的对应函数
Au(x)=v(x)
平方根算子SQRT, SQRTu(x)=[u(x)]1/2

微分算子, D=ddxu(x)

Laplace算子2, 2u(x,y,z)=2u/x2+2u/y2+2u/z2

ˆHΨ(r,R)=EΨ(r,R)

波函数归一化
|Ψ(x,t)|2dx=1

一维空间单粒子的含时薛定谔方程
iΨ(x,t)t=22m2Ψ(x,t)x2+V(x,t)ψ(x,t)

方程归一化条件
|Ψ(x,t)|2dx=1

引进哈密顿算子
H=22m2x2+V(x,t)

含时薛定谔方程可以写成
iΨ(x,t)t=HΨ(x,t)

假设势能函数不含时间,上述方程进行以下分离变量处理
Ψ(x,t)=f(t)ψ(x)

idf(t)dtψ(x)=22md2ψ(x)dx2f(t)+V(x)f(t)ψ(x)