量子力学假设
参考资料 量子化学教程 黄明宝 p65
假设1 体系的状态用坐标和时间的函数Ψ来描述。这个函数称为状态函数或波函数，它包含关于体系的可确定的全部知识。
波函数应是单值的、连续的和平方可积的品优函数。这些数学要求是关于坐标变量的。关于波函数随时间的变化见“假设6”及有关论述。假设中的最后一句话的含义是：可以由波函数来计算体系的各种性质（见假设5）。由于波函数描述的是体系的状态（如基态和激发态），严格来说应是：可以计算波函数所描述的体系的那个状态的各种性质。如果涉及微观粒子的自旋，波函数还要包含自旋坐标。
假设2 每个物理量对应一个线性厄米算子。这个算子是这样构造的：用笛卡尔坐标和对应的（线）动量的分量写出物理量的经典力学表达式，然后把每个坐标x代以算子x，而每个动量分量px代以算子“−iℏ∂∂x”。
对算子厄米的要求来源于“物理量的测量平均值应是实数”的要求；对算子的线性要求与“态的叠加”相关联。量子力学的算子之间存在着“可对易”或“不可对易的关系”。
假设3 从物理量A的测量可得到的仅有可能值是下列本征方程中的本征值ai:
$ A \varphi {i}=a{i}\varphi _{i}$
式中算子A对应于物理量A。如果体系的状态函数Ψ=varphii，则测量有确定值——本征值ai；如果Ψ不是算子A的本征函数，则测量没有确定值（不能确定得到哪个本征值）。
$$
01 算子
1.1 括号标记法
一个波函数取复共轭再与另一个波函数相乘后的积分，可使用一种括号标记
⟨ψ1|ψ2⟩=∫ψ∗1ψ2dτ
括号运算规则
⟨ψ|ψ⟩≥0
⟨ψ2|ψ1⟩=⟨ψ1|ψ2⟩∗
⟨a|b+c⟩=⟨a|b⟩+⟨a|c⟩
⟨a+b|c⟩=⟨a|c⟩+⟨b|c⟩
⟨a|λb⟩=λ⟨a|b⟩
⟨λa|b⟩=λ∗⟨a|b⟩
算子是一种规则，它把给出的某个函数变成另外的对应函数
Au(x)=v(x)
平方根算子SQRT, SQRTu(x)=[u(x)]1/2
微分算子, D=ddxu(x)
Laplace算子▽2, ▽2u(x,y,z)=∂2u/∂x2+∂2u/∂y2+∂2u/∂z2
ˆHΨ(r,R)=EΨ(r,R)
波函数归一化
∫∞−∞|Ψ(x,t)|2dx=1
一维空间单粒子的含时薛定谔方程
−ℏiΨ(x,t)∂t=ℏ22m∂2Ψ(x,t)∂x2+V(x,t)⋅ψ(x,t)
方程归一化条件
∫∞−∞|Ψ(x,t)|2dx=1
引进哈密顿算子
H=−ℏ22m∂2∂x2+V(x,t)
含时薛定谔方程可以写成
−ℏi∂Ψ(x,t)∂t=HΨ(x,t)
假设势能函数不含时间，上述方程进行以下分离变量处理
设 Ψ(x,t)=f(t)ψ(x)
−ℏidf(t)dt⋅ψ(x)=−ℏ22md2ψ(x)dx2⋅f(t)+V(x)f(t)ψ(x)